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最小全域木:プリム法

最小全域木を求めるアルゴリズムである、プリム法を解説します。

最小全域木とは、各辺 \(e\) に対して、重み \(w(e)\) が定まったグラフ \(G=(V,E)\) の全域木(頂点を全て含む木)のうち、重み最小のものです。

プリム法は最小全域木を \(O(m+n\log(n))\) で求めることができます。最小全域木を求めるアルゴリズムとしてほかにクラスカル法ブルーフカ法があります。

アルゴリズム

アルゴリズムは次の通りです。

  1. 頂点 \(v\) を一つ選び、\(T\) を \(v\) のみからなるグラフとします。最終的に \(T\) が最小全域木になります。
  2. 次の操作を、\(T\) が全域木となるまで繰り返します。
    1. \(V(T), V\setminus V(T)\) 間を結ぶ辺のうち、重み最小の辺 \(e\) を発見します。複数存在する場合はどれでもよいです。
    2. \(T \leftarrow T + e\) とします。

\(V(T),V\setminus V(T)\) 間を結ぶ辺のうち重み最小の辺の発見 2-(i) は二分ヒープを用いると、\(O(\log(m))\) で発見できます(\(m\):辺数)。(i)-(ii) は \(n-1\) 回繰り返すので、全体では \(O(m\log(n))\) です。

アルゴリズムの正当性

アルゴリズムの正当性を示します。

まず、\(v\) に接続する辺のうち、重み最小の辺 \(e\) を含む最小全域木が存在することを示します。\(e=vu\) を含む最小全域木が存在しないと仮定します。最小全域木 \(T\) を一つ取ります。\(T\) から \(v\) を削除したグラフの \(u\) を含む連結成分と、 \(v\) を結ぶ辺 \(f\) が \(T\) に存在します。\(T-f+e\) もまた全域木であり、\(e\) の重みの最小性から、最小全域木です。これは \(e\) を持つ最小全域木が存在しないことに矛盾。

ここまでで (i)-(ii) の一回目のループの正当性が示されました。\(e\) を縮約した \(G/e\) 上の最小全域木は、縮約を解くと、\(G\) の \(e\) を含む最小全域木です。\(e\) は \(G/e\) で一つの頂点になっているので、上と同じ論理を繰り返すと、(i)-(ii) の二回目以降のループの正当性が得られます。

他のヒープで高速化

二分ヒープ以外のヒープを使って計算量を改善します。

\(m/n\)分ヒープ:\(m \log(n)/\log(m/n)\)

ヒープの内部の木を 2分木からx分木に変えると計算量がどうなるのか調べます。

キーの減算(decreaseKey)では、キーを減算したあと、そのキーを自分自身より子の方がキーが小さくなるまで、親とswapし続けます。swap回数は高さで抑えられるので、\(O(\log(n)/\log(x))\) 時間です。

最小キーの削除(deleteMin)では、根を木の末端のキーと交換して削除したあと、根のキーを自分自身より子の方が小さくなるまで、最小のキーの子とswapし続けます。swap回数は高さで抑えられ、各swapでは最小のキーの子を見つけるのに \(O(x)\) 掛かるので、全体で \(O(x\log(n)/\log(x))\) 時間です。

纏めると、木の高さが低くなる分だけdecreaseKeyが速くなり、子の数が増える分だけdeleteMinが遅くなります。プリム法ではdeleteMinが \(n-1\) 回、decreaseKeyが \(m\) 回行われるので、\(m \geq n-1\) より、deleteMinの速度を犠牲にキー追加の速度を向上させることができます。計算量は \(O((m+nx)\log(n)/\log(x))\) になるので、\(x=n/m\) のとき最適で \(O(m \log(n)/\log(m/n))\) になります。

特に \(m=n^{1+c}\) (\(c\) : 定数)のとき、\(O(m+n)\) となります。

子の数の最適化の例: 部分永続 Union Find, 最悪計算量最小化 Union Find

フィボナッチヒープ:\(O(m+n\log(n))\)

キーの値の減少(decrease-key)がならし \(O(1)\)、キーの追加が \(O(1)\)、最小値の取り出し(extract-min)が \(\log(q)\) (\(q\) : ヒープの要素数) でできるデータ構造として、フィボナッチヒープがあります。二分ヒープの代わりにフィボナッチヒープを使ってみます。

「\(V(T),V\setminus V(T)\) 間の辺で走査したもののうち、頂点 \(u \in V \setminus V(T)\) を端点に持ちコスト最小のもの」をフィボナッチヒープに挿入するキーにします。最小値を更新する辺 \(e=vu\) が見つかったときは decrease-key をすればよいです。縮約する辺を取り出す(extract-min)のに \(O(n\log(n))\) かかるので、全体の計算量は \(O(m+n\log(n))\) となります。これは、\(m/n\) 分ヒープを使った時より高速です。

プリム法はカット、クラスカル法はサイクルに着目したアルゴリズムといえるかも。

Published in データ構造

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